Maîtrisez les Suites Numériques - Maths 2ème Bac Maroc
Introduction
Les suites numériques sont un chapitre clé en mathématiques pour le programme de 2ème bac au Maroc. Elles permettent d’étudier des séquences de nombres et leurs comportements. Cet article couvre les définitions, propriétés, exemples, et un quiz interactif pour tester vos compétences.
1. Définition
Une suite numérique est une application de \( \mathbb{N} \) (ou un sous-ensemble) dans \( \mathbb{R} \), notée \( (u_n)_{n \geq 0} \), où \( u_n \) est le terme d’indice \( n \).
Exemple : \( u_n = 2n + 1 \) donne \( u_0 = 1 \), \( u_1 = 3 \), \( u_2 = 5 \), etc.
2. Suite arithmétique
Définition
Une suite \( (u_n) \) est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante, appelée raison \( r \), soit \( u_{n+1} - u_n = r \).
Propriétés
- Terme général : \( u_n = u_0 + n r \).
- Somme des \( n+1 \) premiers termes : \( S_n = \frac{n+1}{2} (u_0 + u_n) \).
Exemples
Exemple 1 : \( u_0 = 2 \), \( r = 3 \).
- \( u_n = 2 + 3n \), donc \( u_1 = 5 \), \( u_2 = 8 \).
- Somme des 5 premiers termes (\( n = 4 \)) : \( u_4 = 14 \), \( S_4 = \frac{5}{2} (2 + 14) = 40 \).
Exemple 2 : \( u_0 = 10 \), \( r = -2 \).
- \( u_n = 10 - 2n \), donc \( u_1 = 8 \), \( u_2 = 6 \).
- \( S_3 = \frac{4}{2} (10 + 4) = 28 \) (pour \( n = 3 \)).
3. Suite géométrique
Définition
Une suite \( (u_n) \) est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant, appelé raison \( q \), soit \( u_{n+1} = q u_n \).
Propriétés
- Terme général : \( u_n = u_0 q^n \).
- Somme des \( n+1 \) premiers termes : \( S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \) (si \( q \neq 1 \)).
Exemples
Exemple 1 : \( u_0 = 1 \), \( q = 2 \).
- \( u_n = 1 \cdot 2^n \), donc \( u_1 = 2 \), \( u_2 = 4 \), \( u_3 = 8 \).
- \( S_3 = 1 \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = \frac{1 - 16}{-1} = 15 \) (pour \( n = 3 \)).
Exemple 2 : \( u_0 = 3 \), \( q = \frac{1}{3} \).
- \( u_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n \), donc \( u_1 = 1 \), \( u_2 = \frac{1}{3} \).
- \( S_2 = 3 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^3}{1 - \frac{1}{3}} = 3 \frac{1 - \frac{1}{27}}{\frac{2}{3}} = 4 \).
4. Suite majorée, minorée et bornée
Propriétés
- Majorée : Il existe \( M \) tel que \( u_n \leq M \) pour tout \( n \).
- Minorée : Il existe \( m \) tel que \( u_n \geq m \) pour tout \( n \).
- Bornée : Majorée et minorée.
Exemples
Exemple 1 : \( u_n = (-1)^n \).
- \( u_n = 1 \) ou \( -1 \), donc \( -1 \leq u_n \leq 1 \), bornée.
Exemple 2 : \( u_n = n \).
- \( u_n \geq 0 \) (minorée), mais pas de borne supérieure, donc non bornée.
5. Suite monotone
Propriétés
- Croissante : \( u_{n+1} \geq u_n \).
- Décroissante : \( u_{n+1} \leq u_n \).
- Strictement monotone : Inégalités strictes.
Exemples
Exemple 1 : \( u_n = 2n + 1 \).
- \( u_{n+1} - u_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = 2 > 0 \), strictement croissante.
Exemple 2 : \( u_n = \frac{1}{n+1} \).
- \( u_{n+1} = \frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1} = u_n \), strictement décroissante.
6. Convergence d’une suite
Une suite \( (u_n) \) converge vers une limite \( l \) si, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe \( N \) tel que pour \( n > N \), \( |u_n - l| < \epsilon \).
Exemples
Exemple 1 : \( u_n = \frac{1}{n} \).
- Converge vers 0 car \( u_n \to 0 \) quand \( n \to \infty \).
Exemple 2 : \( u_n = (-1)^n \).
- Ne converge pas (oscille entre 1 et -1).
7. Limite de suites
La limite décrit le comportement de \( u_n \) quand \( n \to \infty \).
Exemples
Exemple 1 : \( u_n = \frac{2n + 1}{n} \).
- \( u_n = 2 + \frac{1}{n} \to 2 \) (car \( \frac{1}{n} \to 0 \)).
Exemple 2 : \( u_n = 2^n \).
- \( u_n \to +\infty \) (diverge).
8. Lois de convergence
Si \( u_n \to l \) et \( v_n \to m \), alors :
- \( u_n + v_n \to l + m \).
- \( u_n v_n \to l m \).
- \( \frac{u_n}{v_n} \to \frac{l}{m} \) (si \( m \neq 0 \)).
Exemples
Exemple : \( u_n = \frac{1}{n} \to 0 \), \( v_n = 3 \to 3 \).
- \( u_n + v_n = \frac{1}{n} + 3 \to 3 \).
- \( u_n v_n = \frac{3}{n} \to 0 \).
9. Suite liée à une fonction
Une suite \( u_n = f(n) \) peut être étudiée via la fonction \( f \).
Exemple
Exemple : \( u_n = f(n) = \frac{n}{n+1} \).
- \( f(x) = \frac{x}{x+1} \to 1 \) quand \( x \to \infty \), donc \( u_n \to 1 \).
Quiz sur les Suites Numériques
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