Maîtrisez les Nombres Complexes - Maths 2ème Bac Maroc
Introduction
Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, introduits pour résoudre des équations comme \( x^2 + 1 = 0 \). Ils sont essentiels en mathématiques pour le programme de 2ème bac au Maroc, notamment en algèbre et géométrie. Cet article détaille leurs formes, opérations, propriétés géométriques, et applications, avec exemples, exercices résolus, et un quiz interactif.
1. Introduction aux nombres complexes
Un nombre complexe \( z \) s’écrit \( z = a + ib \), où \( a \) et \( b \) sont réels, et \( i \) est l’unité imaginaire (\( i^2 = -1 \)). \( a \) est la partie réelle (\( \Re(z) \)), \( b \) la partie imaginaire (\( \Im(z) \)). L’ensemble des complexes est noté \( \mathbb{C} \).
Exemple : \( z = 3 + 4i \) (\( \Re(z) = 3 \), \( \Im(z) = 4 \)).
2. La forme algébrique d’un nombre complexe
Définition
La forme algébrique est \( z = a + ib \), où \( a \) et \( b \) sont des réels.
Exemples
Exemple 1 : \( z = 5 - 2i \) (\( a = 5 \), \( b = -2 \)).
Exemple 2 : \( z = -3i \) (\( a = 0 \), \( b = -3 \)).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Identifier \( \Re(z) \) et \( \Im(z) \) pour \( z = 7 + 5i \).
- Solution : \( z = a + ib \) avec \( a = 7 \), \( b = 5 \).
- \( \Re(z) = 7 \), \( \Im(z) = 5 \).
- Réponse finale : \( \Re(z) = 7 \), \( \Im(z) = 5 \).
Exercice 2 : Écrire sous forme algébrique \( z = 2 + i(-4) \).
- Solution : Simplifions : \( z = 2 + i(-4) = 2 - 4i \).
- Réponse finale : \( z = 2 - 4i \).
3. Égalité de deux nombres complexes
Deux complexes \( z_1 = a + ib \) et \( z_2 = c + id \) sont égaux si \( a = c \) et \( b = d \).
Exemples
Exemple 1 : Vérifier si \( 3 + 2i = 3 + 2i \).
- Solution : \( a = 3 = c \), \( b = 2 = d \), donc égaux.
Exemple 2 : \( 1 + i \neq 1 - i \) (car \( 1 = 1 \), mais \( 1 \neq -1 \)).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Résoudre \( x + 2i = 5 - yi \) pour \( x \) et \( y \) réels.
- Solution : Égalité donne \( x = 5 \) et \( 2 = -y \).
- Donc \( y = -2 \).
- Réponse finale : \( x = 5 \), \( y = -2 \).
Exercice 2 : Vérifier si \( 2 - 3i = -2 + 3i \).
- Solution : \( 2 \neq -2 \) et \( -3 \neq 3 \), donc non égaux.
- Réponse finale : Non.
4. Opérations sur les nombres complexes (Addition et multiplication dans \( \mathbb{C} \))
Addition : \( (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) \).
Multiplication : \( (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc) \) (car \( i^2 = -1 \)).
Exemples
Addition : \( (2 + 3i) + (1 - i) = (2 + 1) + i(3 - 1) = 3 + 2i \).
Multiplication : \( (1 + 2i)(3 - i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i \).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Calculer \( (4 - i) + (2 + 3i) \).
- Solution : \( (4 + 2) + i(-1 + 3) = 6 + 2i \).
- Réponse finale : \( 6 + 2i \).
Exercice 2 : Calculer \( (2 + i)(1 - 2i) \).
- Solution : \( 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + i \cdot 1 + i \cdot (-2i) = 2 - 4i + i - 2i^2 \).
- \( = 2 - 4i + i + 2 = (2 + 2) + i(-4 + 1) = 4 - 3i \).
- Réponse finale : \( 4 - 3i \).
5. Opposé d’un nombre complexe
L’opposé de \( z = a + ib \) est \( -z = -a - ib \), tel que \( z + (-z) = 0 \).
Propriétés
- \( \Re(-z) = -\Re(z) \), \( \Im(-z) = -\Im(z) \).
Exemples
Exemple 1 : Opposé de \( 3 + 4i \) est \( -3 - 4i \).
Exemple 2 : Opposé de \( -2i \) est \( 2i \).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Trouver l’opposé de \( 5 - 3i \).
- Solution : \( -(5 - 3i) = -5 + 3i \).
- Réponse finale : \( -5 + 3i \).
Exercice 2 : Vérifier \( (2 + i) + (-2 - i) = 0 \).
- Solution : \( (2 + i) + (-2 - i) = (2 - 2) + i(1 - 1) = 0 + 0i = 0 \).
- Réponse finale : Oui.
6. Représentation géométrique d’un nombre complexe
Affixe d’un point et affixe d’un vecteur
Dans le plan complexe, \( z = a + ib \) est représenté par le point \( M(a, b) \) ou le vecteur \( \vec{OM} = (a, b) \). \( z \) est l’affixe de \( M \) ou \( \vec{OM} \).
Propriétés
- Module : \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) (distance de \( O \) à \( M \)).
- Argument : angle \( \theta \) tel que \( \cos \theta = \frac{a}{|z|} \), \( \sin \theta = \frac{b}{|z|} \).
Exemples
Exemple 1 : \( z = 3 + 4i \), point \( M(3, 4) \), \( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \).
Exemple 2 : \( z = 1 - i \), vecteur \( (1, -1) \), \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Donner les coordonnées de \( z = 2 + 2i \) et son module.
- Solution : Point \( M(2, 2) \).
- Module : \( |z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
- Réponse finale : \( M(2, 2) \), \( |z| = 2\sqrt{2} \).
Exercice 2 : Trouver \( z \) dont l’affixe est \( M(-1, 3) \).
- Solution : \( z = -1 + 3i \).
- Réponse finale : \( z = -1 + 3i \).
7. Interprétation complexe de la linéarité, parallélisme et barycentre
Linéarité : Si \( z_1 \) et \( z_2 \) sont affixes de \( A \) et \( B \), alors \( \vec{AB} = z_2 - z_1 \).
Parallélisme : \( \vec{AB} \parallel \vec{CD} \) si \( z_B - z_A = k (z_D - z_C) \) (\( k \) réel).
Barycentre : Pour \( G \) barycentre de \( (A, \alpha) \), \( (B, \beta) \), \( z_G = \frac{\alpha z_A + \beta z_B}{\alpha + \beta} \).
Exemples
Linéarité : \( A(1, 2) \), \( B(3, 4) \), \( z_A = 1 + 2i \), \( z_B = 3 + 4i \), \( \vec{AB} = 3 + 4i - (1 + 2i) = 2 + 2i \).
Barycentre : \( G \) de \( (A(1, 0), 1) \), \( (B(0, 1), 1) \), \( z_G = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \).
8. Conjugé d’un nombre complexe
Définition et vue géométrique
Le conjugué de \( z = a + ib \) est \( \overline{z} = a - ib \). Géométriquement, \( \overline{z} \) est le symétrique de \( z \) par rapport à l’axe réel.
Propriétés
- \( z + \overline{z} = 2a \) (réel).
- \( z \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2 \).
Exemples
Exemple 1 : \( z = 2 + 3i \), \( \overline{z} = 2 - 3i \).
Exemple 2 : \( z = -1 - i \), \( \overline{z} = -1 + i \).
Quiz sur les Nombres Complexes
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