Maîtrisez les Fonctions Exponentielles - Maths 2ème Bac
Introduction
Les fonctions exponentielles jouent un rôle clé en mathématiques dans le programme de 2ème bac au Maroc. Elles décrivent des croissances ou décroissances rapides, comme dans les modèles de population ou de décroissance radioactive. Cet article détaille leurs propriétés, limites, dérivées, et une étude complète, avec des exemples et exercices résolus, suivis d’un quiz interactif.
1. Définition
La fonction exponentielle est définie par \( e^x \), où \( e \approx 2,718 \) est la base naturelle des logarithmes (constante d’Euler). Elle est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
Exemple : \( e^0 = 1 \), \( e^1 = e \), \( e^{-1} = \frac{1}{e} \).
2. Propriétés de \( e^x \)
Propriétés fondamentales :
- \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
- \( e^{a + b} = e^a \cdot e^b \) (loi des exposants).
- \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \).
- La fonction est strictement croissante.
Exemples
Exemple 1 : Simplifier \( e^2 \cdot e^3 \).
- Solution : \( e^2 \cdot e^3 = e^{2 + 3} = e^5 \).
Exemple 2 : Simplifier \( \frac{e^4}{e^2} \).
- Solution : \( \frac{e^4}{e^2} = e^{4 - 2} = e^2 \).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Simplifier \( e^{3x} \cdot e^{-x} \).
- Solution : On utilise la propriété \( e^a \cdot e^b = e^{a+b} \).
- \( e^{3x} \cdot e^{-x} = e^{3x + (-x)} = e^{3x - x} = e^{2x} \).
- Réponse finale : \( e^{2x} \).
Exercice 2 : Vérifier si \( e^{x^2} = (e^x)^2 \).
- Solution : Calculons chaque côté.
- Gauche : \( e^{x^2} \) est une exponentielle de \( x^2 \).
- Droite : \( (e^x)^2 = e^x \cdot e^x = e^{x + x} = e^{2x} \) (propriété des exposants).
- Comparaison : \( e^{x^2} \neq e^{2x} \) sauf si \( x^2 = 2x \), soit \( x = 0 \) ou \( x = 2 \).
- Réponse finale : Non, \( e^{x^2} \neq (e^x)^2 \) en général.
3. Limites des fonctions exponentielles
Limites usuelles :
- \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) (croissance exponentielle).
- \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) (décroissance vers 0).
- \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) (forme indéterminée résolue par dérivée).
- \( \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0 \) (pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( e^{-x} \) décroît plus vite que \( x^n \)).
Exemples
Exemple 1 : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} \).
- Solution : \( e^x \) croît beaucoup plus vite que \( x \). Intuitivement, \( \frac{e^x}{x} \to +\infty \).
- Réponse : \( +\infty \).
Exemple 2 : \( \lim_{x \to -\infty} e^x + 2 \).
- Solution : \( e^x \to 0 \) quand \( x \to -\infty \), donc \( e^x + 2 \to 0 + 2 = 2 \).
- Réponse : 2.
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Calculer \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x} \).
- Solution : \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \). Quand \( x \to +\infty \), \( e^x \to +\infty \), donc \( e^{-x} \to \frac{1}{+\infty} = 0 \).
- Réponse finale : 0.
Exercice 2 : Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).
- Solution : En \( x = 0 \), on a \( \frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0} \) (forme indéterminée).
- Utilisons la règle de l’Hôpital : dérivée du numérateur \( (e^x)' = e^x \), dérivée du dénominateur \( (x)' = 1 \).
- \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1 \).
- Réponse finale : 1.
Exercice 3 : Calculer \( \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} \).
- Solution : \( x^2 \) est polynomial, \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \) décroît exponentiellement.
- Quand \( x \to +\infty \), \( e^x \) domine \( x^2 \), donc \( x^2 e^{-x} = \frac{x^2}{e^x} \to 0 \).
- Réponse finale : 0.
4. Dérivée des fonctions exponentielles
La dérivée de \( e^x \) est \( (e^x)' = e^x \). Pour \( e^{u(x)} \), on utilise la règle de la chaîne : \( (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)} \).
Exemples
Exemple 1 : \( f(x) = e^{2x} \).
- Solution : \( u(x) = 2x \), \( u'(x) = 2 \), donc \( (e^{2x})' = 2 \cdot e^{2x} \).
- Réponse : \( 2 e^{2x} \).
Exemple 2 : \( f(x) = e^{x^2} \).
- Solution : \( u(x) = x^2 \), \( u'(x) = 2x \), donc \( (e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2} \).
- Réponse : \( 2x e^{x^2} \).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Dériver \( f(x) = e^{3x + 1} \).
- Solution : \( u(x) = 3x + 1 \), \( u'(x) = 3 \).
- \( (e^{3x + 1})' = u'(x) \cdot e^{u(x)} = 3 \cdot e^{3x + 1} \).
- Réponse finale : \( 3 e^{3x + 1} \).
Exercice 2 : Dériver \( f(x) = x e^x \).
- Solution : Produit de fonctions, donc règle : \( (u \cdot v)' = u' v + u v' \).
- Soit \( u(x) = x \), \( v(x) = e^x \), alors \( u'(x) = 1 \), \( v'(x) = e^x \).
- \( (x e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + x e^x \).
- Réponse finale : \( e^x + x e^x \).
5. La fonction exponentielle de base \( a \)
Pour \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), on définit \( a^x = e^{x \ln a} \). Elle est croissante si \( a > 1 \), décroissante si \( 0 < a < 1 \).
Exemples
Exemple 1 : \( f(x) = 2^x \).
- Solution : \( 2^x = e^{x \ln 2} \), croissante car \( \ln 2 > 0 \).
Exemple 2 : \( f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \).
- Solution : \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = e^{x \ln \frac{1}{2}} = e^{-x \ln 2} \), décroissante.
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Calculer \( \lim_{x \to +\infty} 3^x \).
- Solution : \( 3^x = e^{x \ln 3} \), \( \ln 3 > 0 \), donc quand \( x \to +\infty \), \( x \ln 3 \to +\infty \), et \( 3^x \to +\infty \).
- Réponse finale : \( +\infty \).
Exercice 2 : Dériver \( f(x) = 5^x \).
- Solution : \( 5^x = e^{x \ln 5} \), donc \( (5^x)' = (\ln 5) \cdot e^{x \ln 5} = (\ln 5) \cdot 5^x \).
- Réponse finale : \( 5^x \ln 5 \).
6. Exercices : Équations, inéquations, limites et dérivées
Exemples
Équation : Résoudre \( e^x = 2 \).
- Solution : Appliquer \( \ln \) : \( x = \ln 2 \).
Inéquation : Résoudre \( e^x > 1 \).
- Solution : \( e^x \) croissante, \( e^0 = 1 \), donc \( e^x > 1 \) si \( x > 0 \).
Exercices d’application avec solutions détaillées
Exercice 1 : Résoudre \( e^{2x} = 3 \).
- Solution : \( e^{2x} = 3 \).
- Prendre \( \ln \) des deux côtés : \( 2x = \ln 3 \).
- \( x = \frac{\ln 3}{2} \).
- Réponse finale : \( x = \frac{\ln 3}{2} \).
Exercice 2 : Résoudre \( e^x + 1 < 2 \).
- Solution : \( e^x + 1 < 2 \).
- Soustraire 1 : \( e^x < 1 \).
- \( e^x \) croissante, \( e^0 = 1 \), donc \( e^x < 1 \) si \( x < 0 \).
- Réponse finale : \( x < 0 \).
Exercice 3 : Calculer \( \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{1 + e^x} \).
- Solution : Quand \( x \to -\infty \), \( e^x \to 0 \).
- Donc \( \frac{e^x}{1 + e^x} \approx \frac{0}{1 + 0} = 0 \).
- Réponse finale : 0.
Exercice 4 : Dériver \( f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1} \).
- Solution : Règle du quotient : \( ( \frac{u}{v} )' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \).
- \( u = e^x \), \( v = e^x + 1 \), alors \( u' = e^x \), \( v' = e^x \).
- \( f'(x) = \frac{e^x (e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x \cdot e^x + e^x - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} \).
- Réponse finale : \( \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} \).
7. Étude générale de la fonction \( f(x) = x - 1 + \frac{3}{e^x + 1} \)
- Domaine : \( e^x + 1 > 0 \) pour tout \( x \), donc \( D_f = \mathbb{R} \).
- Limites :
- \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) : \( e^x \to +\infty \), \( \frac{3}{e^x + 1} \to 0 \), donc \( f(x) \approx x - 1 \to +\infty \).
- \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) : \( e^x \to 0 \), \( \frac{3}{e^x + 1} \to \frac{3}{1} = 3 \), donc \( f(x) \approx x - 1 + 3 = x + 2 \to -\infty \).
- Dérivée :
- \( f(x) = x - 1 + 3 (e^x + 1)^{-1} \).
- \( f'(x) = 1 + 3 \cdot (-1) (e^x + 1)^{-2} \cdot (e^x) = 1 - \frac{3 e^x}{(e^x + 1)^2} \).
- Étudier \( f'(x) = 0 \) : \( 1 = \frac{3 e^x}{(e^x + 1)^2} \), numériquement \( x \approx 0,91 \).
- Signe : \( \frac{3 e^x}{(e^x + 1)^2} \) atteint un max < 1, donc \( f'(x) > 0 \) (croissante).
- Convexité :
- \( f''(x) = (-\frac{3 e^x}{(e^x + 1)^2})' = 3 \frac{e^x (e^x + 1)^2 - e^x \cdot 2 (e^x + 1) e^x}{(e^x + 1)^4} = 3 \frac{e^x (1 - e^x)}{(e^x + 1)^3} \).
- \( f''(x) = 0 \) en \( x = 0 \), concave si \( x < 0 \), convexe si \( x > 0 \).
- Intersection : \( f(0) = 0 - 1 + \frac{3}{e^0 + 1} = -1 + \frac{3}{2} = 0,5 \).
Quiz sur les Fonctions Exponentielles
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