Maîtrisez les Équations Différentielles - Maths 2 Bac
Introduction
Les équations différentielles sont un outil essentiel en mathématiques pour le programme de 2ème bac au Maroc. Elles modélisent des phénomènes dynamiques, comme la croissance ou les oscillations. Cet article présente les notions clés avec des définitions, exemples simples, exercices corrigés, un quiz interactif, et une série d’exercices pour approfondir.
1. Notion d’une équation différentielle
Définition
Une équation différentielle est une équation reliant une fonction \( y(x) \), ses dérivées (\( y' \), \( y'' \), etc.), et éventuellement \( x \). On cherche \( y(x) \) vérifiant l’équation.
L’ordre est le rang de la dérivée la plus élevée.
Exemple simple
L’équation \( y' = 2y \) est une équation différentielle d’ordre 1.
Une solution est \( y = e^{2x} \), car \( y' = 2 e^{2x} = 2y \).
Exercice corrigé
Vérifier si \( y = 3 e^x \) est solution de \( y' = y \).
- Solution : Calculons \( y' \).
- \( y = 3 e^x \), donc \( y' = 3 e^x \).
- Vérifions : \( y' = 3 e^x \), \( y = 3 e^x \). Égalité vérifiée.
- Réponse finale : Oui, \( y = 3 e^x \) est solution.
2. Équation différentielle \( y' = a y \)
Propriétés
L’équation \( y' = a y \) (ordre 1, linéaire) a pour solution générale \( y = k e^{a x} \), où \( k \in \mathbb{R} \). Si \( a > 0 \), la solution croît exponentiellement ; si \( a < 0 \), elle décroît.
Exemple simple
Pour \( y' = 3y \), la solution générale est \( y = k e^{3x} \).
Vérification : si \( y = k e^{3x} \), alors \( y' = 3k e^{3x} = 3y \).
Exercice corrigé
Résoudre \( y' = -2y \), avec \( y(0) = 1 \).
- Solution : La solution générale est \( y = k e^{-2x} \).
- Condition initiale : \( y(0) = k e^{0} = k = 1 \).
- Donc, \( y = e^{-2x} \).
- Vérification : \( y' = -2 e^{-2x} \), \( -2y = -2 e^{-2x} \). Vérifié.
- Réponse finale : \( y = e^{-2x} \).
3. Équation différentielle \( y' = a y + b \)
Règle
L’équation \( y' = a y + b \) (ordre 1, linéaire avec second membre) a pour solution générale :
- Si \( a \neq 0 \), \( y = k e^{a x} - \frac{b}{a} \).
- Si \( a = 0 \), \( y = b x + k \).
Exemple simple
Pour \( y' = -y + 1 \), la solution générale est \( y = k e^{-x} + 1 \).
Vérification : \( y' = -k e^{-x} \), \( -y + 1 = -(k e^{-x} + 1) + 1 = -k e^{-x} \).
Exercice corrigé
Résoudre \( y' = 2y - 4 \), avec \( y(0) = 0 \).
- Solution : Solution générale : \( y = k e^{2x} - \frac{-4}{2} = k e^{2x} + 2 \).
- Condition : \( y(0) = k e^{0} + 2 = k + 2 = 0 \), donc \( k = -2 \).
- \( y = -2 e^{2x} + 2 \).
- Vérification : \( y' = -4 e^{2x} \), \( 2y - 4 = 2(-2 e^{2x} + 2) - 4 = -4 e^{2x} \). Vérifié.
- Réponse finale : \( y = -2 e^{2x} + 2 \).
4. Équation différentielle \( y'' + a y' + b y = 0 \)
Règle
Cette équation (ordre 2, linéaire homogène) se résout via l’équation caractéristique \( r^2 + a r + b = 0 \). Solutions selon le discriminant \( \Delta = a^2 - 4b \):
- \( \Delta > 0 \): Deux racines réelles \( r_1, r_2 \), solution \( y = k_1 e^{r_1 x} + k_2 e^{r_2 x} \).
- \( \Delta = 0 \): Racine double \( r = -\frac{a}{2} \), solution \( y = (k_1 + k_2 x) e^{r x} \).
- \( \Delta < 0 \): Racines complexes \( r = \alpha \pm i \beta \), solution \( y = e^{\alpha x} (k_1 \cos(\beta x) + k_2 \sin(\beta x)) \).
Exemple simple
Pour \( y'' - y = 0 \), équation caractéristique : \( r^2 - 1 = 0 \), racines \( r = \pm 1 \).
Solution : \( y = k_1 e^x + k_2 e^{-x} \).
Exercice corrigé
Résoudre \( y'' + 2y' + y = 0 \), avec \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 0 \).
- Solution : Équation caractéristique : \( r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0 \).
- Racine double : \( r = -1 \).
- Solution générale : \( y = (k_1 + k_2 x) e^{-x} \).
- Dérivée : \( y' = k_2 e^{-x} - (k_1 + k_2 x) e^{-x} \).
- Conditions : \( y(0) = k_1 = 1 \), \( y'(0) = k_2 - k_1 = k_2 - 1 = 0 \), donc \( k_2 = 1 \).
- \( y = (1 + x) e^{-x} \).
- Vérification : \( y' = e^{-x} - (1 + x) e^{-x} \), \( y'' = -e^{-x} - e^{-x} + (1 + x) e^{-x} \). Substituons : \( y'' + 2y' + y = 0 \). Vérifié.
- Réponse finale : \( y = (1 + x) e^{-x} \).
5. Quiz sur les Équations Différentielles
Testez vos connaissances avec ce quiz interactif !
6. Série d’exercices
Exercice 1 : Résoudre \( y' = 4y \).
- Solution : Solution générale : \( y = k e^{4x} \).
- Vérification : \( y' = 4k e^{4x} = 4y \).
- Réponse : \( y = k e^{4x} \).
Exercice 2 : Résoudre \( y' = -y - 2 \), avec \( y(0) = 0 \).
- Solution : Solution générale : \( y = k e^{-x} - \frac{-2}{-1} = k e^{-x} - 2 \).
- Condition : \( y(0) = k e^{0} - 2 = k - 2 = 0 \), donc \( k = 2 \).
- \( y = 2 e^{-x} - 2 \).
- Vérification : \( y' = -2 e^{-x} \), \( -y - 2 = -(2 e^{-x} - 2) - 2 = -2 e^{-x} \).
- Réponse : \( y = 2 e^{-x} - 2 \).
Exercice 3 : Résoudre \( y'' - 4y = 0 \).
- Solution : Équation caractéristique : \( r^2 - 4 = 0 \), racines \( r = \pm 2 \).
- Solution générale : \( y = k_1 e^{2x} + k_2 e^{-2x} \).
- Vérification : \( y' = 2k_1 e^{2x} - 2k_2 e^{-2x} \), \( y'' = 4k_1 e^{2x} + 4k_2 e^{-2x} \).
- \( y'' - 4y = 4(k_1 e^{2x} + k_2 e^{-2x}) - 4(k_1 e^{2x} + k_2 e^{-2x}) = 0 \).
- Réponse : \( y = k_1 e^{2x} + k_2 e^{-2x} \).
Exercice 4 : Résoudre \( y'' + 4y = 0 \), avec \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 0 \).
- Solution : Équation caractéristique : \( r^2 + 4 = 0 \), racines \( r = \pm 2i \).
- Solution générale : \( y = k_1 \cos(2x) + k_2 \sin(2x) \).
- Dérivée : \( y' = -2k_1 \sin(2x) + 2k_2 \cos(2x) \).
- Conditions : \( y(0) = k_1 = 1 \), \( y'(0) = 2k_2 = 0 \), donc \( k_2 = 0 \).
- \( y = \cos(2x) \).
- Vérification : \( y'' = -4 \cos(2x) \), \( y'' + 4y = -4 \cos(2x) + 4 \cos(2x) = 0 \).
- Réponse : \( y = \cos(2x) \).