Maîtrisez la Géométrie dans l'Espace - Maths 2ème Bac Maroc
Introduction
La géométrie dans l’espace est un pilier du programme de mathématiques de 2ème bac au Maroc. Elle étudie les vecteurs, plans, droites, sphères, et leurs relations dans un espace à trois dimensions. Cet article présente chaque notion avec un résumé clair, un exemple simple, des exercices résolus, une correction d’examen national, et un quiz interactif.
1. La norme d’un vecteur et la distance AB
Résumé
Définitions :
- La norme d’un vecteur \( \vec{u} = (x, y, z) \) est \( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \).
- La distance entre deux points \( A(x_A, y_A, z_A) \) et \( B(x_B, y_B, z_B) \) est \( AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \).
Exemple simple
Norme de \( \vec{u} (3, 0, 4) \) : \( \|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \).
Exercice d’application
Calculer la distance entre \( A(1, 0, 0) \) et \( B(0, 1, 0) \).
- Solution : \( \vec{AB} (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0) \).
- \( AB = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \).
- Réponse : \( \sqrt{2} \).
2. Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace
Résumé
Définition : Pour \( \vec{u} (x_1, y_1, z_1) \), \( \vec{v} (x_2, y_2, z_2) \), le produit scalaire est \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \). Si \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \), les vecteurs sont orthogonaux.
Exemple simple
Pour \( \vec{u} = (1, 0, 0) \), \( \vec{v} = (0, 1, 0) \), \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \) (orthogonaux).
Exercice d’application
Calculer \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) pour \( \vec{u} (2, -1, 1) \), \( \vec{v} (1, 1, 0) \).
- Solution : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 - 1 + 0 = 1 \).
- Réponse : 1.
3. Le produit vectoriel de deux vecteurs dans l’espace
Résumé
Définition : Pour \( \vec{u} (x_1, y_1, z_1) \), \( \vec{v} (x_2, y_2, z_2) \), le produit vectoriel est \( \vec{u} \wedge \vec{v} = (y_1 z_2 - z_1 y_2, z_1 x_2 - x_1 z_2, x_1 y_2 - y_1 x_2) \). Le résultat est orthogonal à \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \).
Exemple simple
Pour \( \vec{u} = (1, 0, 0) \), \( \vec{v} (0, 1, 0) \), \( \vec{u} \wedge \vec{v} (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 1) \).
Exercice d’application
Calculer \( \vec{u} \wedge \vec{v} \) pour \( \vec{u} (1, -1, 0) \), \( \vec{v} (0, 1, 1) \).
- Solution : \( \vec{u} \wedge \vec{v} ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) = (-1, -1, 1) \).
- Réponse : \( (-1, -1, 1) \).
4. Colinéarité de deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \)
Résumé
Propriété : \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires si \( \vec{u} = k \vec{v} \) (\( k \in \mathbb{R} \)). Équivalent : \( \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \).
Exemple simple
Pour \( \vec{u} (2, 4, -2) \), \( \vec{v} (1, 2, -1) \), \( \vec{u} = 2 \vec{v} \), donc colinéaires.
Exercice d’application
Vérifier si \( \vec{u} (3, 0, 6) \), \( \vec{v} (1, 0, 2) \) sont colinéaires.
- Solution : \( \vec{u} = 3 \vec{v} \), donc colinéaires.
- Réponse : Oui.
5. L’équation cartésienne d’un plan
a. Plan défini par un point et un vecteur normal
Résumé
Règle : Pour un point \( A(x_A, y_A, z_A) \) et un vecteur normal \( \vec{n} (a, b, c) \), l’équation est \( a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \), soit \( ax + by + cz + d = 0 \).
Exemple simple
Plan passant par \( A(1, 0, 0) \), normal à \( \vec{n} (1, 1, 1) \) : \( 1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0 \), soit \( x + y + z - 1 = 0 \).
Exercice d’application
Trouver l’équation du plan passant par \( A(0, 1, 2) \), normal à \( \vec{n} (2, 0, -1) \).
- Solution : \( 2(x-0) + 0(y-1) - 1(z-2) = 0 \).
- \( 2x - z + 2 = 0 \).
- Réponse : \( 2x - z + 2 = 0 \).
b. Plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
Résumé
Règle : Pour un point \( A(x_A, y_A, z_A) \) et deux vecteurs directeurs \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), le vecteur normal est \( \vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} \), puis utiliser l’équation du plan.
Exemple simple
Plan passant par \( A(0, 0, 0) \), directeurs \( \vec{u} (1, 0, 0) \), \( \vec{v} (0, 1, 0) \). Normal : \( \vec{u} \wedge \vec{v} = (0, 0, 1) \). Équation : \( z = 0 \).
Exercice d’application
Trouver l’équation du plan passant par \( A(1, 0, 0) \), directeurs \( \vec{u} (1, 1, 0) \), \( \vec{v} (0, 1, 1) \).
- Solution : \( \vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 1) \).
- Équation : \( 1(x-1) - 1(y-0) + 1(z-0) = 0 \), soit \( x - y + z - 1 = 0 \).
- Réponse : \( x - y + z - 1 = 0 \).
c. Plan défini par trois points (plan ABC)
Résumé
Règle : Pour trois points \( A \), \( B \), \( C \), calculer \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \), puis \( \vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} \).
Utiliser un point pour l’équation.
Exemple simple
Points \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 0) \), \( C(0, 0, 1) \).
\( \vec{AB} (-1, 1, 0) \), \( \vec{AC} (-1, 0, 1) \).
Normal : \( \vec{AB} \wedge \vec{AC} (1, 1, 1) \).
Équation : \( x + y + z - 1 = 0 \).
Exercice d’application
Trouver l’équation du plan \( ABC \), avec \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 0, 0) \), \( C(0, 1, 0) \).
- Solution : \( \vec{AB} (1, 0, 0) \), \( \vec{AC} (0, 1, 0) \).
- \( \vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} (0, 0, 1) \).
- Équation : \( z = 0 \).
- Réponse : \( z = 0 \).
6. La droite dans l’espace
a. Représentation paramétrique d’une droite \( D(A, \vec{u}) \)
Résumé
Règle : Une droite passant par \( A(x_A, y_A, z_A) \), dirigée par \( \vec{u} = (u_x, u_y, u_z) \), a pour équation paramétrique : \( x = x_A + t u_x \), \( y = y_A + t u_y \), \( z = z_A + t u_z \), \( t \in \mathbb{R} \).
Exemple simple
Droite passant par \( A(1, 0, 0) \), dirigée par \( \vec{u} (1, 1, 1) \) : \( x = 1 + t \), \( y = t \), \( z = t \).
Exercice d’application
Trouver la représentation paramétrique de la droite passant par \( A(0, 1, 2) \), dirigée par \( \vec{u} (1, 0, -1) \).
- Solution : \( x = t \), \( y = 1 \), \( z = 2 - t \).
- Réponse : \( x = t \), \( y = 1 \), \( z = 2 - t \).
b. Deux équations cartésiennes d’une droite \( D(A, \vec{u}) \)
Résumé
Règle : Une droite passant par \( A(x_A, y_A, z_A) \), dirigée par \( \vec{u} (u_x, u_y, u_z) \), a pour équations cartésiennes : \( \frac{x - x_A}{u_x} = \frac{y - y_A}{u_y} = \frac{z - z_A}{u_z} \) (si \( u_x, u_y, u_z \neq 0 \)).
Exemple simple
Droite passant par \( A(1, 0, 0) \), dirigée par \( \vec{u} (1, 1, 1) \) : \( \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} \).
Exercice d’application
Trouver les équations cartésiennes de la droite passant par \( A(0, 1, 2) \), dirigée par \( \vec{u} (1, 0, -1) \).
- Solution : \( \frac{x-0}{1} = \frac{z-2}{-1} \), \( y = 1 \).
- Réponse : \( \frac{x}{1} = \frac{z-2}{-1} \), \( y = 1 \).
7. La sphère dans l’espace
a. Équation cartésienne d’une sphère définie par le centre et le rayon
Résumé
Règle : Une sphère de centre \( C(a, b, c) \) et rayon \( R \) a pour équation : \( (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \).
Exemple simple
Sphère de centre \( C(0, 0, 0) \), rayon \( R = 2 \) : \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \).
Exercice d’application
Trouver l’équation d’une sphère de centre \( C(1, 0, 1) \), rayon \( R = 3 \).
- Solution : \( (x-1)^2 + (y-0)^2 + (z-1)^2 = 3^2 \).
- \( (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 9 \).
- Réponse : \( (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 9 \).
b. Équation cartésienne d’une sphère définie par un diamètre
Résumé
Règle : Si \( AB \) est un diamètre, avec \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), le centre est \( C\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right) \), rayon \( R = \frac{AB}{2} \).
Exemple simple
Diamètre \( AB \), \( A(0, 0, 0) \), \( B(2, 0, 0) \). Centre : \( C(1, 0, 0) \).
Rayon : \( R = \frac{2}{2} = 1 \).
Équation : \( (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 1 \).
Exercice d’application
Trouver l’équation d’une sphère de diamètre \( AB \), \( A(0, 0, 0) \), \( B(0, 2, 2) \).
- Solution : Centre : \( C\left(0, \frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (0, 1, 1) \).
- Rayon : \( AB = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), \( R = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \).
- Équation : \( x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \).
- Réponse : \( x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 2 \).
c. Équation cartésienne d’une sphère définie par le centre et passant par un point A
Résumé
Règle : Pour centre \( C(a, b, c) \), point \( A(x_A, y_A, z_A) \), le rayon est \( R = CA \).
Équation : \( (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \).
Exemple simple
Centre \( C(0, 0, 0) \), point \( A(1, 0, 0) \).
Rayon : \( R = 1 \).
Équation : \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \).
Exercice d’application
Trouver l’équation d’une sphère de centre \( C(1, 1, 1) \), passant par \( A(2, 1, 1) \).
- Solution : Rayon : \( CA = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1} = 1 \).
- Équation : \( (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1 \).
- Réponse : \( (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1 \).
d. Équation cartésienne d’une sphère définie par le centre et tangente à un plan
Résumé
Règle : Pour centre \( C(a, b, c) \), tangente à un plan \( \pi : ax + by + cz + d = 0 \), le rayon est la distance de \( C \) à \( \pi \), \( R = \frac{|a a + b b + c c + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \).
Exemple simple
Centre \( C(0, 0, 2) \), tangente à \( z = 0 \).
Distance : \( R = |2 - 0| = 2 \).
Équation : \( x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 4 \).
Exercice d’application
Trouver l’équation d’une sphère de centre \( C(0, 0, 1) \), tangente à \( x + y + z = 0 \).
- Solution : Plan : \( x + y + z = 0 \). Distance : \( R = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
- Équation : \( x^2 + y^2 + (z-1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \).
- Réponse : \( x^2 + y^2 + (z-1)^2 = \frac{1}{3} \).
8. Distances
a. Distance d’un point à un plan
Résumé
Règle : La distance d’un point \( M(x_M, y_M, z_M) \) à un plan \( ax + by + cz + d = 0 \) est \( d = \frac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \).
Exemple simple
Point \( M(0, 0, 1) \), plan \( x + y + z - 1 = 0 \).
Distance : \( d = \frac{|0 + 0 + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0 \).
Exercice d’application
Calculer la distance de \( M(1, 1, 1) \) au plan \( 2x - y + z - 3 = 0 \).
- Solution : \( d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 + 1 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \).
- Réponse : \( \frac{1}{\sqrt{6}} \).
b. Distance d’un point à une droite
Résumé
Règle : Pour un point \( M \) et une droite passant par \( A \), dirigée par \( \vec{u} \), la distance est \( d = \frac{\|\vec{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} \).
Exemple simple
Point \( M(1, 0, 0) \), droite passant par \( A(0, 0, 0) \), dirigée par \( \vec{u} = (1, 1, 0) \). \( \vec{AM} = (1, 0, 0) \), \( \vec{AM} \wedge \vec{u} = (0, 0, 1) \), \( d = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Exercice d’application
Calculer la distance de \( M(0, 0, 1) \) à la droite passant par \( A(0, 0, 0) \), dirigée par \( \vec{u} = (1, 0, 0) \).
- Solution : \( \vec{AM} = (0, 0, 1) \), \( \vec{AM} \wedge \vec{u} = (0, 1, 0) \).
- \( d = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}} = 1 \).
- Réponse : 1.
9. Positions relatives dans l’espace
a. Position relative d’un plan et d’une droite
Résumé
Règle : Pour un plan \( \pi : ax + by + cz + d = 0 \) et une droite dirigée par \( \vec{u} (u_x, u_y, u_z) \), passant par \( A \):
- Parallèle : \( a u_x + b u_y + c u_z = 0 \), et \( A \notin \pi \).
- Contenue : \( a u_x + b u_y + c u_z = 0 \), et \( A \in \pi \).
- Sécante : \( a u_x + b u_y + c u_z \neq 0 \).
Exemple simple
Plan \( x + y + z = 0 \), droite passant par \( A(0, 0, 0) \), dirigée par \( \vec{u} = (1, -1, 0) \).
\( 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0 \), \( A \in \pi \), donc contenue.
Exercice d’application
Étudier la position relative du plan \( x - y + z = 1 \) et de la droite passant par \( A(0, 0, 0) \), dirigée par \( \vec{u} = (1, 1, 1) \).
- Solution : \( 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 \neq 0 \), donc sécante.
- Réponse : Sécante.
b. Position relative d’un plan et d’une sphère
Résumé
Règle : Pour une sphère \( (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \) et un plan \( \pi \), calculer la distance \( d \) du centre au plan :
- Tangente : \( d = R \).
- Sécante (cercle) : \( d < R \).
- Extérieure : \( d > R \).
Exemple simple
Sphère \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \), plan \( z = 0 \).
Distance : \( d = 0 \).
\( d < 1 \), donc sécante.
Exercice d’application
Étudier la position du plan \( z = 2 \) et de la sphère \( x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1 \).
- Solution : Distance : \( d = |2 - 1| = 1 \). \( d = R \), donc tangente.
- Réponse : Tangente.
c. Position relative d’une droite et d’une sphère
Résumé
Règle : Pour une sphère et une droite, calculer la distance \( d \) du centre à la droite :
- Tangente : \( d = R \) (1 point).
- Sécante : \( d < R \) (2 points).
- Extérieure : \( d > R \) (0 point).
Exemple simple
Sphère \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \), droite \( x = t \), \( y = 0 \), \( z = 0 \).
Distance : \( d = 0 \).
\( d < 1 \), donc sécante.
Exercice d’application
Étudier la position de la droite \( x = t \), \( y = 1 \), \( z = 1 \) et de la sphère \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \).
- Solution : Distance : \( \vec{AM} = (0, 1, 1) \), \( \vec{u} = (1, 0, 0) \), \( \vec{AM} \wedge \vec{u} = (0, 1, -1) \).
- \( d = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} > 1 \), donc extérieure.
- Réponse : Extérieure.
10. L’aire d’un triangle et d’un parallélogramme
Résumé
Règle : Pour un triangle \( ABC \), aire = \( \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\| \).
Pour un parallélogramme défini par \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), aire = \( \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| \).
Exemple simple
Triangle \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 0, 0) \), \( C(0, 1, 0) \).
\( \vec{AB} (1, 0, 0) \), \( \vec{AC} (0, 1, 0) \), \( \vec{AB} \wedge \vec{AC} (0, 0, 1) \).
Aire : \( \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \).
Exercice d’application
Calculer l’aire du triangle \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 1, 0) \), \( C(0, 1, 1) \).
- Solution : \( \vec{AB} = (1, 1, 0) \), \( \vec{AC} = (0, 1, 1) \).
- \( \vec{AB} \wedge \vec{AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 1) \).
- \( \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \).
- Aire : \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Réponse : \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Exercice sur la représentation paramétrique d'une sphère
Correction d’un exercice d’examen national marocain
Énoncé (simplifié, inspiré des examens marocains) :
Dans un repère \( Oxyz \), on donne les points \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 0) \), \( C(0, 0, 1) \).
1) Montrer que le triangle \( ABC \) est équilatéral.
2) Trouver l’équation du plan \( (ABC) \).
3) Calculer l’aire du triangle \( ABC \).
Correction détaillée
- Triangle équilatéral :
- \( AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2} \).
- \( BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2} \).
- \( CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2} \).
- Les trois côtés sont égaux, donc \( ABC \) est équilatéral.
- Équation du plan \( (ABC) \) :
- \( \vec{AB} = (-1, 1, 0) \), \( \vec{AC} = (-1, 0, 1) \).
- Vecteur normal : \( \vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1, (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 1) \).
- Équation avec \( A(1, 0, 0) \) : \( 1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0 \).
- \( x + y + z - 1 = 0 \).
- Aire du triangle \( ABC \) :
- \( \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \).
- Aire : \( \frac{1}{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Réponses finales : 1) Équilatéral, 2) \( x + y + z - 1 = 0 \), 3) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Quiz sur la Géométrie dans l’Espace
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