Maîtrisez la Dérivabilité en Maths 2ème Bac Maroc : Cours, Exemples et Quiz
Introduction : Définition de la dérivabilité
La dérivabilité est une notion clé en mathématiques qui permet d’étudier la variation d’une fonction et de déterminer son taux de changement en un point donné. Une fonction est dérivable si elle admet une dérivée, c’est-à-dire une pente bien définie à chaque point de son domaine. Dans le programme de 2ème bac au Maroc, la dérivabilité est essentielle pour analyser les fonctions et résoudre des problèmes pratiques. Cet article couvre la dérivabilité en un point, son interprétation géométrique, l’équation de la tangente, le calcul des dérivées, et une application concrète.
1. Dérivabilité en un point
Définition
Une fonction \( f \) est dérivable en un point \( a \) si la limite suivante existe et est finie :
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]
Cette limite, appelée nombre dérivé, représente le taux de variation instantané de \( f \) en \( a \).
Exemples
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \) en \( x = 1 \).
- \( f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 \).
- Donc, \( f \) est dérivable en \( x = 1 \) et \( f'(1) = 2 \).
Exemple 2 : \( f(x) = |x| \) en \( x = 0 \).
- Limite à droite : \( \lim_{h \to 0^+} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 \).
- Limite à gauche : \( \lim_{h \to 0^-} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \).
- Les limites diffèrent (\( 1 \neq -1 \)), donc \( f \) n’est pas dérivable en \( x = 0 \).
2. Interprétation géométrique
La dérivée \( f'(a) \) représente le coefficient directeur de la tangente au graphe de \( f \) en \( x = a \). Si \( f \) n’est pas dérivable en un point, cela signifie qu’il n’y a pas de tangente unique (par exemple, un angle ou une cuspide).
Exemple : Pour \( f(x) = x^2 \) en \( x = 1 \), \( f'(1) = 2 \) indique que la tangente a une pente de 2.
3. Équation de la tangente (ou semi-tangente)
L’équation de la tangente au graphe de \( f \) en \( x = a \) est :
\[ y = f(a) + f'(a)(x - a) \]
Exemple : Pour \( f(x) = x^2 \) en \( x = 1 \).
- \( f(1) = 1^2 = 1 \), \( f'(1) = 2 \).
- Équation : \( y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 2 + 1 = 2x - 1 \).
4. Calcul de la fonction dérivée
Tableau des dérivées usuelles
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \( k \) (constante) | \( 0 \) |
| \( x^n \) | \( n x^{n-1} \) |
| \( \sqrt{x} \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( -\frac{1}{x^2} \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( \ln(x) \) | \( \frac{1}{x} \) |
Exemples
Exemple 1 : \( f(x) = 3x^2 + 2x - 1 \).
- \( f'(x) = 3 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0 = 6x + 2 \).
Exemple 2 : \( f(x) = \frac{1}{x} + e^x \).
- \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + e^x \).
5. Application dans l’étude de fonction
Exercice complet
Étudions la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) sur \( [-2, 2] \).
- Domaine : \( f \) est définie sur \( \mathbb{R} \), donc sur \( [-2, 2] \).
- Dérivée : \( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) \).
- Points critiques : \( f'(x) = 0 \) donne \( 3(x^2 - 1) = 0 \), soit \( x = 1 \) ou \( x = -1 \).
- Signe de \( f'(x) \) :
- Pour \( x < -1 \) : \( f'(-2) = 3(4 - 1) = 9 > 0 \) (croissante).
- Pour \( -1 < x < 1 \) : \( f'(0) = 3(0 - 1) = -3 < 0 \) (décroissante).
- Pour \( x > 1 \) : \( f'(2) = 3(4 - 1) = 9 > 0 \) (croissante).
- Extrema :
- \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \) (maximum local).
- \( f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \) (minimum local).
- Représentation graphique : La fonction croît jusqu’à \( x = -1 \) (max), décroît jusqu’à \( x = 1 \) (min), puis croît à nouveau.
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