Maîtrisez la Continuité en Maths 2ème Bac Maroc : Cours, Exemples et Exercices Résolus
Introduction : Définition de la continuité
La continuité est une notion fondamentale en mathématiques, particulièrement en analyse, qui décrit le comportement "fluide" d’une fonction. Une fonction est continue si elle ne présente ni sauts, ni cassures, ni trous sur son graphe. Dans le programme de 2ème bac au Maroc, mastering cette notion est essentiel pour aborder les fonctions, les limites et les théorèmes associés. Dans cet article, nous allons explorer la continuité en un point, sur un intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires et la fonction réciproque, avec des exemples détaillés et des exercices pour vous entraîner.
1. Continuité en un point
Propriétés
Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si :
- \( f(a) \) est définie (la fonction a une valeur en \( a \)).
- La limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( a \) existe.
- \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).
Si l’une de ces conditions n’est pas vérifiée, la fonction n’est pas continue en \( a \).
Exemples
Exemple 1 : Soit \( f(x) = x^2 + 1 \). Vérifions la continuité en \( x = 2 \).
- \( f(2) = 2^2 + 1 = 5 \) (définie).
- \( \lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5 \) (limite existe).
- \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 5 \).
- Conclusion : \( f \) est continue en \( x = 2 \).
Exemple 2 : Soit \( f(x) = \frac{1}{x - 1} \). Vérifions en \( x = 1 \).
- \( f(1) = \frac{1}{1 - 1} = \frac{1}{0} \) (non définie).
- La limite n’existe pas (tendance vers \( +\infty \) à droite et \( -\infty \) à gauche).
- Conclusion : \( f \) n’est pas continue en \( x = 1 \).
Exemple 3 : Soit \( f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\ x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases} \). Vérifions en \( x = 1 \).
- \( f(1) = 3 \) (définie).
- Limite à gauche : \( \lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2 = 3 \).
- Limite à droite : \( \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1^2 = 1 \).
- Les limites diffèrent (\( 3 \neq 1 \)), donc \( f \) n’est pas continue en \( x = 1 \).
Exercice d’application
Déterminez si \( f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \) est continue en \( x = 0 \).
(Solution : Vérifiez \( f(0) = 1 \), limite à gauche = 1, limite à droite = -1. Non continue.)
2. Continuité sur un intervalle
Propriété
Une fonction \( f \) est continue sur un intervalle \( [a, b] \) si elle est continue en tout point \( x \) de \( [a, b] \). Cela implique que le graphe de \( f \) peut être tracé sans lever le crayon sur cet intervalle.
Exemples
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \) sur \( [0, 3] \).
- Polynôme, donc continue partout, y compris sur \( [0, 3] \).
Exemple 2 : \( f(x) = \frac{1}{x} \) sur \( [-1, 1] \).
- Non définie en \( x = 0 \) (point de l’intervalle), donc pas continue sur \( [-1, 1] \).
Exemple 3 : \( f(x) = \sqrt{x} \) sur \( [0, 4] \).
- Définie et continue pour tout \( x \geq 0 \), donc continue sur \( [0, 4] \).
Exercice d’application
Vérifiez si \( f(x) = \frac{x}{x - 2} \) est continue sur \( [1, 3] \).
(Solution : Non continue, car indéfinie en \( x = 2 \), qui appartient à \( [1, 3] \).)
3. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Si \( f \) est continue sur \( [a, b] \) et si \( k \) est une valeur entre \( f(a) \) et \( f(b) \), alors il existe au moins un \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = k \).
Exemples
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \) sur \( [0, 2] \), \( k = 2 \).
- \( f(0) = 0 \), \( f(2) = 4 \), \( 0 < 2 < 4 \).
- Résolvons \( x^2 = 2 \) : \( x = \sqrt{2} \approx 1,41 \in [0, 2] \).
- Conclusion : Le théorème est vérifié.
Exemple 2 : \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) sur \( [0, 2] \), \( k = 0 \).
- \( f(0) = 1 \), \( f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 \), \( 1 > 0 > -\infty \) (mais on teste mieux).
- \( f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 \), \( -1 < 0 < 1 \), donc il existe un \( c \in [0, 1] \) tel que \( f(c) = 0 \).
Exemple 3 : \( f(x) = \sqrt{x} \) sur \( [0, 4] \), \( k = 1 \).
- \( f(0) = 0 \), \( f(4) = 2 \), \( 0 < 1 < 2 \).
- \( \sqrt{x} = 1 \) donne \( x = 1 \in [0, 4] \).
Exercice d’application
Montrez que \( f(x) = x^2 - 4 \) sur \( [1, 3] \) prend la valeur 5.
(Solution : \( f(1) = -3 \), \( f(3) = 5 \), \( -3 < 5 \leq 5 \), donc \( c = 3 \).)
4. La fonction réciproque
Propriété
Si \( f \) est continue et strictement monotone sur \( [a, b] \), elle admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) qui est également continue sur \( [f(a), f(b)] \) (ou \( [f(b), f(a)] \) si décroissante).
Exemples
Exemple 1 : \( f(x) = 2x + 1 \) sur \( [0, 2] \).
- Stricte croissance, continue.
- \( y = 2x + 1 \), \( x = \frac{y - 1}{2} \), donc \( f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2} \).
- Domaine de \( f^{-1} \) : \( [1, 5] \).
Exemple 2 : \( f(x) = x^3 \) sur \( [-1, 1] \).
- Stricte croissance, continue.
- \( y = x^3 \), \( x = \sqrt[3]{y} \), donc \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} \).
Exemple 3 : \( f(x) = e^x \) sur \( [0, 1] \).
- \( f^{-1}(x) = \ln(x) \), définie sur \( [1, e] \).
Exercice d’application
Trouvez la fonction réciproque de \( f(x) = 3x - 2 \) sur \( [0, 1] \).
(Solution : \( y = 3x - 2 \), \( x = \frac{y + 2}{3} \), \( f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3} \), domaine \( [-2, 1] \).)
Conclusion
La continuité est un pilier pour comprendre les fonctions au programme de 2ème bac. Avec ces explications, exemples et exercices, vous avez tout pour réussir ! Pratiquez bien et n’hésitez pas à explorer d’autres chapitres sur notre site.
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