Étude et Représentation Graphique d’une Fonction Numérique - Maths 2ème Bac Maroc
Introduction
L’étude et la représentation graphique d’une fonction numérique sont des compétences fondamentales en mathématiques pour le programme de 2ème bac au Maroc. Elles permettent d’analyser le comportement d’une fonction et de le visualiser graphiquement. Cet article explore en détail les notions à maîtriser, propose une étude complète, et inclut un quiz interactif.
1. À apprendre
Voici les éléments essentiels pour étudier une fonction \( f \), chacun accompagné d’explications et d’exemples :
1.1 Domaine de définition (\( D_f \))
Le domaine de définition est l’ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est définie.
Exemple 1 : \( f(x) = \sqrt{x} \).
- \( x \geq 0 \) pour que la racine soit définie, donc \( D_f = [0, +\infty[ \).
Exemple 2 : \( f(x) = \frac{1}{x-2} \).
- Indéfinie en \( x = 2 \) (dénominateur nul), donc \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).
1.2 Parité
Une fonction est paire si \( f(-x) = f(x) \) (symétrie par rapport à l’axe \( Oy \)), impaire si \( f(-x) = -f(x) \) (symétrie par rapport à l’origine).
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \).
- \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \), donc paire.
Exemple 2 : \( f(x) = x^3 \).
- \( f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \), donc impaire.
1.3 Axe et centre de symétrie
Une fonction paire a l’axe \( Oy \) comme axe de symétrie, une fonction impaire a l’origine comme centre de symétrie.
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \).
- Paire, donc symétrique par rapport à \( Oy \).
Exemple 2 : \( f(x) = x^3 \).
- Impaire, donc symétrique par rapport à \( (0, 0) \).
1.4 Dérivée (\( f' \))
La dérivée indique les variations : \( f'(x) > 0 \) (croissante), \( f'(x) < 0 \) (décroissante), \( f'(x) = 0 \) (extrema ou points critiques).
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \).
- \( f'(x) = 2x \).
- \( x < 0 \) : \( f'(x) < 0 \) (décroissante), \( x > 0 \) : \( f'(x) > 0 \) (croissante), \( x = 0 \) : minimum.
Exemple 2 : \( f(x) = x^3 \).
- \( f'(x) = 3x^2 \geq 0 \), donc toujours croissante (strictement sauf en \( x = 0 \)).
1.5 Tangentes
L’équation de la tangente en \( x = a \) est \( y = f(a) + f'(a)(x - a) \).
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \) en \( x = 1 \).
- \( f(1) = 1 \), \( f'(x) = 2x \), \( f'(1) = 2 \).
- Tangente : \( y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 \).
Exemple 2 : \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \( x = 2 \).
- \( f(2) = \frac{1}{2} \), \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \), \( f'(2) = -\frac{1}{4} \).
- Tangente : \( y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) \).
1.6 Convexité (\( f'' \))
La seconde dérivée détermine la convexité : \( f''(x) > 0 \) (convexe), \( f''(x) < 0 \) (concave), \( f''(x) = 0 \) (point d’inflexion possible).
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \).
- \( f''(x) = 2 > 0 \), donc convexe sur \( \mathbb{R} \).
Exemple 2 : \( f(x) = x^3 \).
- \( f''(x) = 6x \), \( x < 0 \) : concave, \( x > 0 \) : convexe, \( x = 0 \) : point d’inflexion.
1.7 Branches infinies
Analyse du comportement de \( f(x) \) quand \( x \to \pm \infty \).
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \).
- \( x \to +\infty \) : \( f(x) \to +\infty \), \( x \to -\infty \) : \( f(x) \to +\infty \).
Exemple 2 : \( f(x) = \frac{1}{x} \).
- \( x \to +\infty \) : \( f(x) \to 0^+ \), \( x \to -\infty \) : \( f(x) \to 0^- \).
1.8 Position relative d’une courbe par rapport à une droite
Étudier \( f(x) - d(x) \) pour voir si la courbe est au-dessus, en-dessous ou coupe la droite \( d(x) \).
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 \), droite \( d(x) = x \).
- \( g(x) = x^2 - x = x(x - 1) \).
- \( x < 0 \) : \( g(x) > 0 \) (au-dessus), \( 0 < x < 1 \) : \( g(x) < 0 \) (en-dessous), \( x > 1 \) : \( g(x) > 0 \) (au-dessus).
1.9 Intersection avec les axes de repère
Points où la courbe coupe \( Ox \) (\( f(x) = 0 \)) et \( Oy \) (\( f(0) \)).
Exemple 1 : \( f(x) = x^2 - 1 \).
- \( x \)-axe : \( x^2 - 1 = 0 \), \( x = \pm 1 \).
- \( y \)-axe : \( f(0) = -1 \).
Exemple 2 : \( f(x) = x^3 \).
- \( x \)-axe : \( x^3 = 0 \), \( x = 0 \).
- \( y \)-axe : \( f(0) = 0 \).
2. Étude d’un exemple complet
Étudions la fonction \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) sur \( \mathbb{R} \).
- Domaine de définition : \( D_f = \mathbb{R} \) (polynôme).
- Parité : \( f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2 \neq f(x) \) et \( \neq -f(x) \), donc ni paire ni impaire.
- Axe et centre de symétrie : Aucun.
- Dérivée :
- \( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \).
- Points critiques : \( f'(x) = 0 \) donne \( x = 0 \) ou \( x = 2 \).
- Signe de \( f'(x) \) :
- \( x < 0 \) : \( f'(-1) = 9 > 0 \) (croissante).
- \( 0 < x < 2 \) : \( f'(1) = -3 < 0 \) (décroissante).
- \( x > 2 \) : \( f'(3) = 9 > 0 \) (croissante).
- Extrema : \( f(0) = 2 \) (max local), \( f(2) = -2 \) (min local).
- Tangentes :
- En \( x = 0 \) : \( y = 2 \) (horizontale).
- En \( x = 2 \) : \( y = -2 \) (horizontale).
- Convexité :
- \( f''(x) = 6x - 6 \), \( f''(x) = 0 \) donne \( x = 1 \) (inflexion).
- \( x < 1 \) : concave, \( x > 1 \) : convexe.
- Branches infinies : \( x \to +\infty \) : \( f(x) \to +\infty \), \( x \to -\infty \) : \( f(x) \to -\infty \).
- Position relative par rapport à \( y = x \) : \( g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 2 \) (analyse indicative).
- Intersections : \( y \)-axe : \( f(0) = 2 \), \( x \)-axe : \( x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \) (résoudre si nécessaire).
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