Suites arithmétiques et géométriques : Tout ce qu'il faut savoir

Introduction

Les suites numériques sont des outils fondamentaux en mathématiques. Elles permettent de décrire des phénomènes qui évoluent de manière ordonnée, qu’il s’agisse de nombres qui augmentent régulièrement ou qui croissent de façon exponentielle. Parmi elles, les suites arithmétiques et géométriques occupent une place particulière grâce à leur simplicité et leur puissance. Que ce soit pour calculer des intérêts bancaires, modéliser une chute radioactive ou concevoir des algorithmes, ces suites jouent un rôle clé dans notre quotidien et dans les sciences. Dans cet article, nous explorerons leurs définitions, leurs propriétés, leurs différences et leurs applications concrètes, tout en vous proposant des exemples et des exercices pour mieux les maîtriser.

1. Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

1.1 Définition et formule générale

Une suite arithmétique est une séquence de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Cette différence constante est appelée raison et est notée r. Par exemple, dans la suite 2, 5, 8, 11, chaque terme augmente de 3.

La formule générale d’une suite arithmétique est :

\( u_n = u_1 + (n - 1) \cdot r \)

• \( u_n \) : le \( n \)-ième terme de la suite ;
• \( u_1 \) : le premier terme ;
• \( r \) : la raison ;
• \( n \) : le rang du terme.

La raison r peut être positive ou négative, selon que la suite croît ou décroît.

1.2 Exemples de suites arithmétiques

Prenons la suite 3, 7, 11, 15. Ici, \( u_1 = 3 \) et \( r = 4 \). Calculons quelques termes :

• \( u_2 = 3 + 4 = 7 \);
• \( u_3 = 3 + 2 \cdot 4 = 11 \);
• \( u_5 = 3 + 4 \cdot 4 = 19 \).

Un autre exemple : 10, 7, 4, 1 (où \( r = -3 \)).

1.3 Somme des termes d’une suite arithmétique

Pour calculer la somme des \( n \) premiers termes (\( S_n \)), on utilise la formule :

\( S_n = \frac{n}{2} \cdot (u_1 + u_n) \)

ou encore :

\( S_n = \frac{n}{2} \cdot [2u_1 + (n - 1) \cdot r] \)

Exemple : Somme des 5 premiers termes de 2, 5, 8, 11, 14 :

• \( u_1 = 2 \), \( u_5 = 14 \), \( n = 5 \) ;
• \( S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 + 14) = \frac{5}{2} \cdot 16 = 40 \).

2. Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

2.1 Définition et formule générale

Une suite géométrique est une séquence où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante appelée raison et notée q. Par exemple, 2, 6, 18, 54 est une suite géométrique avec \( q = 3 \).

La formule générale est :

\( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \)

• \( u_n \) : le \( n \)-ième terme ;
• \( u_1 \) : le premier terme ;
• \( q \) : la raison ;
• \( n \) : le rang.

Si \( q > 1 \), la suite croît ; si \( 0 < q < 1 \), elle décroît ; si \( q < 0 \), elle oscille.

2.2 Exemples de suites géométriques

Prenons 5, 10, 20, 40 (\( u_1 = 5 \), \( q = 2 \)) :

• \( u_2 = 5 \cdot 2 = 10 \);
• \( u_3 = 5 \cdot 2^2 = 20 \);
• \( u_4 = 5 \cdot 2^3 = 40 \).

Un autre exemple : 16, 8, 4, 2 (\( q = \frac{1}{2} \)).

2.3 Somme des termes d’une suite géométrique

La somme des \( n \) premiers termes (\( S_n \)) est donnée par :

\( S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \)

Exemple : Somme des 4 premiers termes de 3, 6, 12, 24 (\( u_1 = 3 \), \( q = 2 \)) :

• \( S_4 = 3 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 16}{-1} = 3 \cdot 15 = 45 \).

3. Comparaison entre suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques progressent linéairement (addition constante), tandis que les suites géométriques évoluent exponentiellement (multiplication constante). Une suite ne peut être à la fois arithmétique et géométrique que si tous ses termes sont identiques (par exemple, 5, 5, 5), car \( r = 0 \) et \( q = 1 \). Les logarithmes relient ces deux types : une suite géométrique devient arithmétique lorsqu’on prend le logarithme de ses termes.

4. Applications des suites arithmétiques et géométriques

4.1 En économie et finances

• Intérêts simples : Une épargne avec un taux fixe génère une suite arithmétique.
• Intérêts composés : La croissance exponentielle des investissements suit une suite géométrique.
• Amortissement : Les remboursements réguliers d’un prêt forment une suite arithmétique.

4.2 En physique et ingénierie

• Ondes : Les fréquences harmoniques suivent des progressions géométriques.
• Dégradation radioactive : La diminution de la radioactivité suit une loi géométrique (exponentielle décroissante).

4.3 En informatique et algorithmique

• Algorithmes : Les recherches binaires divisent les données par 2 (suite géométrique).
• IA : Les modèles d’apprentissage ajustent leurs paramètres selon des progressions optimisées.

5. Exercices pratiques et solutions

Exercices sur les suites arithmétiques

1. Soit la suite 4, 9, 14, 19. Quel est le 10e terme ?
2. Calculez la somme des 8 premiers termes de 1, 5, 9, 13.

Exercices sur les suites géométriques

1. Soit 2, 6, 18. Quel est le 6e terme ?
2. Calculez la somme des 5 premiers termes de 1, 3, 9, 27.

Corrigés

• Arithmétique 1 : \( u_1 = 4 \), \( r = 5 \), \( u_{10} = 4 + 9 \cdot 5 = 49 \).
• Arithmétique 2 : \( u_1 = 1 \), \( u_8 = 1 + 7 \cdot 4 = 29 \), \( S_8 = \frac{8}{2} \cdot (1 + 29) = 120 \).
• Géométrique 1 : \( u_1 = 2 \), \( q = 3 \), \( u_6 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486 \).
• Géométrique 2 : \( u_1 = 1 \), \( q = 3 \), \( S_5 = 1 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = \frac{1 - 243}{-2} = 121 \).

Conclusion

Les suites arithmétiques et géométriques sont des piliers des mathématiques, omniprésents dans les sciences et la vie quotidienne. Elles permettent de modéliser des phénomènes aussi variés que la croissance d’une population ou le calcul d’un prêt. Pour les maîtriser, rien ne vaut la pratique : essayez les exercices proposés et explorez leurs applications autour de vous !

FAQ : Réponses aux questions courantes

Q1 : Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?
Vérifiez si la différence entre deux termes consécutifs est constante (arithmétique) ou si leur rapport est constant (géométrique).

Q2 : Peut-on avoir une suite qui soit à la fois arithmétique et géométrique ?
Oui, mais seulement si tous les termes sont égaux, ce qui est un cas particulier.

Q3 : Comment appliquer les suites numériques en investissement ?
Les intérêts composés suivent une progression géométrique, tandis que les remboursements fixes suivent une progression arithmétique.

Q4 : Où retrouve-t-on les suites géométriques dans la nature ?
Dans la croissance des populations, les fractales, et même dans la répartition des feuilles d’une plante !

Quiz : Testez vos connaissances sur les suites numériques

Répondez aux questions ci-dessous et cliquez sur "Voir les corrigés" pour vérifier vos réponses !

Question 1

Dans la suite arithmétique \( 3, 7, 11, 15 \), quelle est la raison \( r \) ?

a) 3
b) 4
c) 5

Corrigé : La raison \( r \) est la différence entre deux termes consécutifs : \( 7 - 3 = 4 \). Réponse correcte : b) 4.

Question 2

Quel est le 5e terme de la suite géométrique \( 2, 6, 18 \) ?

a) 54
b) 162
c) 486

Corrigé : La raison \( q = 6 / 2 = 3 \). Formule : \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \). Pour \( n = 5 \) : \( u_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162 \). Réponse correcte : b) 162.

Question 3

La somme des 4 premiers termes de la suite arithmétique \( 1, 4, 7, 10 \) est :

a) 22
b) 28
c) 34

Corrigé : Formule : \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (u_1 + u_n) \). Ici, \( n = 4 \), \( u_1 = 1 \), \( u_4 = 10 \). \( S_4 = \frac{4}{2} \cdot (1 + 10) = 2 \cdot 11 = 22 \). Réponse correcte : a) 22.

Question 4

Une suite géométrique a pour raison \( q = \frac{1}{2} \) et premier terme \( u_1 = 16 \). Quel est le 3e terme ?

a) 4
b) 8
c) 2

Corrigé : Formule : \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \). Pour \( n = 3 \) : \( u_3 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4 \). Réponse correcte : a) 4.

Question 5

Quelle est la somme des 3 premiers termes de la suite géométrique \( 1, 3, 9 \) ?

a) 12
b) 13
c) 15

Corrigé : Formule : \( S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \). Ici, \( u_1 = 1 \), \( q = 3 \), \( n = 3 \). \( S_3 = 1 \cdot \frac{1 - 3^3}{1 - 3} = \frac{1 - 27}{-2} = \frac{-26}{-2} = 13 \). Réponse correcte : b) 13.