Comment Dessiner le Tableau de Signes des Monômes et Trinômes : Guide pour le Bac

Comment Dessiner le Tableau de Signes des Monômes et Trinômes : Guide pour le Bac

Le tableau de signes est un outil essentiel en mathématiques pour étudier le signe d’une expression, comme un monôme ou un trinôme, sur différents intervalles. Cet exercice est fréquent dans les épreuves du baccalauréat marocain, notamment en Sciences Physiques ou Mathématiques. Dans cet article, nous allons résumer les méthodes pour construire un tableau de signes de manière claire et efficace, avec des exemples pratiques.

1. Méthode pour les Monômes

Un monôme est une expression de la forme $a{x}^n$, où $a$ est le coefficient et $n$ l’exposant. Le tableau de signes dépend du signe de $a$ et de la parité de $n$.

• Étape 1 : Identifier la racine (point où le monôme s’annule), c’est-à-dire $x=0$ (sauf si $n=0$, cas constant).
• Étape 2 : Déterminer les intervalles : $]-\mathrm{\infty },0[$ et $]0,+\mathrm{\infty }[$.
• Étape 3 : Analyser le signe :
  • Si $n$ est pair (ex. $x^2$) : toujours positif sauf en 0 (nul).
  • Si $n$ est impair (ex. $x^3$) : négatif pour $x<0$, positif pour $x>0$.
  • Multiplier par le signe de $a$ (positif ou négatif).
• Exemple : $f(x)=-2x^3$.
  Racine : $x=0$.
  Signe : $x^3$ est négatif pour $x<0$, positif pour $x>0$, mais $a=-2$ inverse les signes.
  Tableau :

  $x$	$]-\mathrm{\infty },0[$	0	$]0,+\mathrm{\infty }[$
  $-2x^3$	+	0	-

2. Méthode pour les Trinômes du Second Degré

Un trinôme est une expression de la forme $a{x}^2+bx+c$. Le tableau de signes dépend des racines et du signe de $a$.

• Étape 1 : Calculer le discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.
  • $\mathrm{\Delta }>0$ : 2 racines réelles distinctes.
  • $\mathrm{\Delta }=0$ : 1 racine double.
  • $\mathrm{\Delta }<0$ : pas de racine réelle.
• Étape 2 : Trouver les racines (si $\mathrm{\Delta }\ge 0$) avec la formule : $x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$.
• Étape 3 : Déterminer les intervalles à partir des racines.
• Étape 4 : Étudier le signe :
  • Si $a>0$ : positif hors des racines, négatif entre elles (si 2 racines).
  • Si $a<0$ : inverse.
  • Si pas de racine ($\mathrm{\Delta }<0$) : même signe que $a$ partout.
• Exemple : $f(x)=x^2-4x+3$.
  $\mathrm{\Delta }=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$.
  Racines : $x=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}$, soit $x_1=1$, $x_2=3$.
  Signe ($a=1>0$) : positif sauf entre 1 et 3.
  Tableau :

  $x$	$]-\mathrm{\infty },1[$	1	$]1,3[$	3	$]3,+\mathrm{\infty }[$
  $x^2-4x+3$	+	0	-	0	+

3. Cas Particuliers : Trinôme sans Racine

Si $\mathrm{\Delta }<0$, le trinôme ne s’annule jamais. Le signe est constant et dépend de $a$.

• Exemple : $f(x)=x^2+1$.
  $\mathrm{\Delta }=0-4\cdot 1\cdot 1=-4<0$.
  Pas de racine, $a=1>0$, donc toujours positif.
  Tableau :

  $x$	$]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$
  $x^2+1$	+

4. Méthode Générale pour Plusieurs Facteurs

Si l’expression est un produit (ex. $(x-1)(x+2)$ ou mélange monôme/trinôme), factorisez d’abord.

• Étape 1 : Trouver toutes les racines.
• Étape 2 : Étudier le signe de chaque facteur sur les intervalles définis par les racines.
• Étape 3 : Multiplier les signes pour obtenir le signe global.
• Exemple : $f(x)=x(x-2)$.
  Racines : $x=0$, $x=2$.
  Tableau :

  $x$	$]-\mathrm{\infty },0[$	0	$]0,2[$	2	$]2,+\mathrm{\infty }[$
  $x$	-	0	+	+	+
  $x-2$	-	-	-	0	+
  $x(x-2)$	+	0	-	0	+

Conseils pour Réussir au Bac

• Vérifiez toujours vos racines et testez un point par intervalle pour confirmer les signes.
• Utilisez une présentation claire avec un tableau bien structuré.
• Entraînez-vous avec des exemples variés (monômes, trinômes, produits).

Avec ces méthodes, dessiner un tableau de signes deviendra un jeu d’enfant. Bonne chance pour vos révisions et votre bac !